Bölüm 2: Boole Cebiri ve İlgili Bilgisayar Bileşenleri
2.1 Temel Boole Operatörleri
Benim (yazarın) uzun boylu olduğumu ve sizin (okuyucunun) uzun olduğunu varsayalım. Birisi size ikimizin de uzun olup olmadığını sorarsa “Evet” (doğru) dersiniz. İkimizin de kısa olup olmadığını sorarsa “Hayır” (yanlış) dersiniz. Eğer sen kısaysan ve ben uzunsam ve sana senin ya da benim uzun olup olmadığımı sorarsa cevabınız “Evet” (doğru) olacaktır. Senin de benim de uzun boylu olup olmadığımızı sorarsa, cevabınız olamaz. Son sorunun sorulmaması gerektiğini veya sorunun bir cevabının olmadığını söyleyebilirsiniz. Peki siz (okuyucu) şunu bilmenizi isterim ki, bugün belirli koşullar altında bu sorunun sorulması gerekir.
Biyolojide bir kişi ya uzundur ya da kısadır. Kişinin orta boyda olmasını sağlayan “çevresel” koşullardır. Bir bilim adamı, George Boole, bu tür sorular için bir dizi yanıt veya kural tanımladı. Bu kuralları çevrimiçi kariyer kursunun (bölüm) bu bölümünde öğreneceğiz. Bu kurallar günümüzde bilgisayar, programlama, elektronik ve telekomünikasyon alanlarında kullanılmaktadır. Aslında bu kurallar olmasaydı, günümüzde yaygın olduğu üzere bir bilgisayarınız olmazdı; bugün yaygın olduğu gibi programlamaya da sahip olmayacaksınız.
Doğru ya da yanlış
Basit bir insan dili ifadesi kendi içinde ya doğrudur ya da yanlıştır. “Uzunum” dersem bu ya doğrudur ya da yanlıştır. “Uzunsun” dersem bu ya doğrudur ya da yanlıştır. Eğer ben uzunsam ve sen kısaysan ve hem senin hem de benim uzun boylu olup olmadığımız sorulursa Boolean Mantığına göre doğru veya yanlış şeklinde bir cevap verilmesi gerekir. Bu ikisinden hangisi verilmeli? Boole bu soruya tam olarak cevap vermedi. Uymamız için bir dizi kural ortaya attı. İyi haber şu ki, bu kuralları doğru bağlamda uyguladığınızda hiçbir belirsizlik yaşamazsınız. Bu kurallar sayesinde bugün bilgisayarlarımız ve programlamamız var. Artık kurallar sana veriliyor. Kurallar gerçekten açıklanamaz; sen onları kabul et. Kurallar üç başlık altındadır: VE, VEYA ve DEĞİL.
VE
Hem sen hem de ben uzun muyuz sorusu sorulabilir. Benim boyum ve sizin boyunuz daha sonra VE kurallarıyla birleştirilir. Uyulması gereken AND kuralları şunlardır:
yanlış VE yanlış = yanlış
yanlış VE doğru = yanlış
doğru VE yanlış = yanlış
doğru VE doğru = doğru
Şimdi uzun doğru olsun, kısa olsun yanlış olsun. Bu, eğer ben kısaysam VE sen kısaysan, sen ve ben de kısayız demektir. Ben kısaysam VE sen uzunsan, sen ve ben kısayız; kabul etmeniz gereken Boolean cevabı budur. Ben uzunsam VE sen kısaysan, hem sen hem de ben kısayız. Eğer ben uzunsam VE sen de uzunsan, sen ve ben uzunuz. Bunların hepsi sizin (okuyucunun) kabul etmesi gereken VE Boolean kurallarıdır.
VEYA
Sen mi yoksa ben mi uzunuz sorusu sorulabilir. Benim boyum ve sizin boyunuz daha sonra OR kurallarıyla birleştirilir. Uyulması gereken OR kuralları şunlardır:
yanlış VEYA yanlış = yanlış
yanlış VEYA doğru = doğru
doğru VEYA yanlış = doğru
doğru VEYA doğru = doğru
Tekrar ediyorum, uzun doğru olsun, kısa olsun yanlış olsun. Bu, eğer ben kısaysam VEYA sen kısaysan, sen VEYA ben de kısayım demektir. Ben kısaysam VEYA sen uzunsan, sen ya da ben uzunuz. Ben uzunsam VEYA sen kısaysan, sen VEYA ben uzunuz. Ben uzunsam VEYA sen uzunsan, sen ya da ben uzunuz. Bunların hepsi kabul etmeniz gereken Boolean kurallarıdır.
OLUMSUZ
Artık Boolean mantığında yalnızca iki durum (olası yanıtlar) mevcuttur. Yani eğer uzun değilseniz kısasınızdır. Kısa değilseniz uzunsunuzdur; başka hiçbir şey. Uyulması gereken DEĞİL kurallar şunlardır:
Yanlış DEĞİL = doğru
Doğru DEĞİL = yanlış
Uzatabileceğiniz (çekebileceğiniz) bir ipiniz (veya yayınız) olduğunu varsayalım. İp doğal haliyle iken “Kısa DEĞİL” dersem uzatırsınız; yorum budur. İp uzarken, “uzun değil” dersem, onun daralmasına izin verirsin; yorum budur.
Farklı kategorilerde verilen tüm kuralları ezberlemeniz gerekir.
İkiden Fazla İşlenen
Bilgisayar dilinde VE, VEYA ve DEĞİL'in her birine operatör denir. NOT operatörü için bir yanıta sahip olmak için yalnızca bir işlenene (bir operatörün değeri) ihtiyacınız vardır. AND veya OR operatörleri için ikiden fazla işleneniniz olabilir. Önceki durumlarda AND ve OR için iki işlenen gösterilmektedir. AND için aşağıdaki gibi üç işleneniniz olabilir:
yanlış VE yanlış VE yanlış = yanlış
yanlış VE yanlış VE doğru = yanlış
Bunlar iki satırdır; her birinin iki AND operatörü vardır. İşlenenler üç olduğunda aslında dokuz satır vardır. AND operatörüyle yalnızca son satır (dokuzuncu satır) true değerine eşittir; önceki satırların tümü yanlıştır. AND için iki işlenen varsa yalnızca son satırın hala doğru olduğunu unutmayın; önceki üç satırın tümü yanlıştır. İşlenenler dört olduğunda 16 satır vardır ve AND operatörü için yalnızca son satır doğrudur.
VE'nin düzeni ile VEYA'nın düzeni farklıdır. İki OR operatörü için üç işlenenle birlikte dokuz satır vardır ve bu kez yalnızca ilk satır yanlıştır. Dokuzuncu satırdan ikinci satır doğrudur. VEYA için iki işlenen olduğunda yalnızca ilk satırın hala doğru olduğunu unutmayın; kalan üç satırın tümü yanlıştır. OR için işlenenler dört olduğunda ayrıca 16 satır vardır.
NOT operatörü yalnızca bir işlenenle ilgilenir. Yanlış DEĞİL doğrudur ve Doğru DEĞİL yanlıştır.
2.2 İki İşlenen Doğruluk Tablosu ve Elektronik Bileşenleri
Matematikte cebir diye bir konu vardır. Bir önceki bölümde bunun küçük bir kısmı görüldü. Boole cebiri adı verilen bir tür cebir vardır. Boolean cebirinde doğru, iki tabanlı basamak olan 1 ile, yanlış ise iki tabanlı basamak olan 0 ile tanımlanır.
Dahili bilgisayar ünitesi bileşenleri elektronik bileşenlerdir. Bilgisayar sisteminin sistem birimi dijital elektronik bileşenlere sahiptir. AND işlemi, AND kapısı adı verilen küçük bir elektronik bileşen tarafından yapılır. OR işlemi, OR kapısı adı verilen küçük elektronik bileşen tarafından gerçekleştirilir. NOT işlemi, NOT kapısı adı verilen küçük elektronik bileşen tarafından yapılır. Bu kapılardan çok fazlası Entegre Devre (IC) çipinde olabilir.
AND Doğruluk Tablosu ve Kapısı
Aşağıdaki tabloda AND doğruluk tablosu ve onun AND kapısı (küçük devre) sembolü verilmektedir:
Hem AND doğruluk tablosu hem de kapısı için A ve B iki girdi değişkenidir. Q çıkış değişkenidir. A ya 1 ya da 0'dır. B ya 1 ya da 0'dır. Q ya 1 ya da 0'dır. 1'leri ve 0'ları içeren AND doğruluk tablosu önceki doğru/yanlış AND doğruluk düzeniyle (tablo) aynıdır. VE denklemi:
A . B = Q
burada nokta (.) VE (Boolean) anlamına gelir. Aynı anlama gelen (AND) AB = Q olması için nokta ihmal edilebilir.
Not: Dört satırdaki A ve B için olan bitler, çift olarak, 0'dan (veya 00) başlayan ikinci tabandaki ilk dört sayıdır, yani 00, 01, 10, 11.
Aşağıdaki tabloda OR doğruluk tablosu ve onun OR kapısı (küçük devre) sembolü verilmektedir:
Hem OR doğruluk tablosu hem de kapısı için A ve B iki girdi değişkenidir. Q çıkış değişkenidir. 1'ler ve 0'lardan oluşan OR doğruluk tablosu, önceki doğru/yanlış OR doğruluk düzeniyle (tablo) aynıdır.
OR denklemi:
A + B = S
Buradaki +, Boole OR anlamına gelir ve toplama anlamına gelmez. Denklem “A veya B eşittir Q” şeklinde okunur.
Aşağıdaki tabloda DEĞİL doğruluk tablosu ve onun DEĞİL kapısı (küçük devre) sembolü verilmektedir:
NOT doğruluk tablosu veya NOT geçidinin yalnızca bir girişi ve bir çıkışı vardır. Giriş 0 olduğunda çıkış 1'dir. Giriş 1 olduğunda çıkış 0'dır. NOT kapısı bir tür ters çevirme işlemi yapar. Çıkış değişkeni giriş değişkeniyle aynıdır ancak bir çubuk içerir (üstü çizili). 1'ler ve 0'lardan oluşan DEĞİL doğruluk tablosu, önceki doğru/yanlış VEYA doğruluk düzeniyle (tablo) aynıdır.
NOT denklemi:
bir = S
Burada Q = A ve A'nın üzerindeki çubuk tümleyen anlamına gelir. 0'ın tümleyeni 1 ve 1'in tümleyeni 0'dır. DEĞİL kapısı aynı zamanda TERS ÇEVİRME kapısı olarak da bilinir.
Bunlar dijital elektronikteki (Boole cebiriyle) temel (veya kök) doğruluk tabloları ve bunların kapılarıdır (küçük devreler). Aşağıdaki çizimde verilen diğer üç doğruluk tablosu ve bunların kapıları kolaylık sağlamak amacıyla verilmiştir ve önceki üç doğruluk tablosuna dayanmaktadır.
AND doğruluk tablosu ve kapısından türetilen bir doğruluk tablosu ve kapısı vardır. Bunlara NAND (DEĞİL VE için) doğruluk tablosu ve karşılık gelen NAND kapısı denir. NAND doğruluk tablosu ve NAND kapısı şöyledir:
NAND doğruluk tablosunu elde etmek için AND doğruluk tablosunun çıktısına gidin ve her rakamı tamamlayıcısıyla değiştirin. 0'ın tümleyeni 1 ve 1'in tümleyeni 0'dır. NAND geçidi, AND geçidine benzer ancak çıkış çizgisinin önünde küçük bir daireye sahiptir. NAND denklemi:
Nerede “A” VE “B” sonucunun tamamlayıcısı anlamına gelir. Çubuk (üst çizgi), kapıda küçük bir daire ile temsil edilir. A ve B arasındaki noktanın atlanabileceğini unutmayın.
OR doğruluk tablosundan ve kapısından türetilen başka bir doğruluk tablosu ve kapısı daha vardır. Bunlara NOR (DEĞİL VEYA için) doğruluk tablosu ve karşılık gelen NOR kapısı denir. NOR doğruluk tablosu ve NOR kapısı şöyledir:
NOR doğruluk tablosunu elde etmek için OR doğruluk tablosunun çıktısına gidin ve her rakamı tamamlayıcısıyla değiştirin. 0'ın tümleyeni 1'dir ve 1'in tümleyeni 0'dır. NOR geçidi OR kapısı gibidir ancak çıkış hattının önünde küçük bir dairesi vardır. NOR denklemi:
Nerede 
“A” VEYA “B” sonucunun tamamlayıcısı anlamına gelir. Çubuk (üst çizgi) kapıda küçük bir daire ile temsil edilir.
Özel VEYA (XOR)
VEYA kapısının doğruluk tablosu şu şekildedir:
Normal İngilizcede 1'in mi yoksa 1'in mi son satırının 1'i mi yoksa 0'ı mı vereceği açık değildir. Yani Boolean cebirinde iki tür OR doğruluk tablosu ve bunlara karşılık gelen iki kapı vardır. Normal OR ile, 1 OR 1'in son satırı 1 verir. Diğer OR türü, ilk üç satırın normal OR'nin ilk üç satırıyla aynı olduğu (çıkış dahil) özel-OR'dur (XOR). Ancak dördüncü ve son satır için 1 VEYA 1, 0 değerini verir.
Aşağıdaki tabloda XOR doğruluk tablosu ve onun XOR kapısı (küçük devre) sembolü verilmektedir:
Hem XOR doğruluk tablosu hem de kapısı için “A” ve “B” iki giriş değişkenidir. “Q” çıkış değişkenidir.
XOR denklemi:
bir ⊕ B = S
Buradaki ⊕ Boolean XOR anlamına gelir.
Normal OR, biri veya her ikisi anlamına gelir. Özel VEYA kesinlikle anlamına gelir herhangi biri ve ikisi de değil.
2.3 Boolean Postülatları
Varsayımlar, belirli sonuçların çıkarılmasına dayanan varsayımlardır. VE, VEYA ve DEĞİL denklemlerinden (doğruluk tabloları) köken alan on Boolean postülası vardır. Bu denklemlere fonksiyon da denir. Temel işlevler aşağıdaki gibi kopyalanır:
Bunlar Boole cebirindeki temel fonksiyonlardır (denklemlerdir). Aşağıdaki diğer üç (fonksiyon) denklem temel fonksiyonlar değildir:
Buradaki son işlev kendine özgü olmasına rağmen temel bir işlev olarak kabul edilmez.
Boolean postülaları aşağıdaki gibidir:
VE İşlevinden
1) 0 . 0 = 0
yirmi . 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1
VEYA İşlevinden
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1
NOT İşlevinden
9) 0 = 1
10) 1 = 0
Not: Bu varsayımlar, bağımsız bir şekilde ifade edilen VE, VEYA ve DEĞİL doğruluk tablolarındaki satırlardır. Okuyucu verilen önermeleri ezberlemelidir.
2.4 Boole Özellikleri
Bir özellik, bir şeyin benzer bir özelliğidir. Boolean özellikleri Boolean önermelerinden türetilen denklemlerdir. Bu bölümde özellikler türetilmeden basitçe verilmiş ve daha sonra kullanılmıştır. On başlık altında toplanan mülklerin yirmi beşi aşağıdaki gibidir:
AND Fonksiyonunun Özellikleri
Özellik 1:
Burada X 1 veya 0 olabilir. Bu, X ne olursa olsun sonucun her zaman 0 olacağı anlamına gelir.
Not: Bir değişkenin mutlaka A veya B veya C veya D olması gerekmez. Bir değişken W veya X veya Y veya Z veya başka herhangi bir harf olabilir.
Özellik 2:
Burada X 1 veya 0 olabilir. Özellik 1 ile özellik 2 arasındaki farkın, her iki denklemin eşit işaretinin sol tarafında X ve 0'ın konumlarının yer değiştirmesi olduğunu unutmayın.
Özellik 3:
X 0 ise 0. 1 = 0. X 1 ise 1. 1 = 1.
Özellik 4:
Eğer X 0 ise, o zaman 1. 0 = 0. Eğer X ise, o zaman 1. 1 = 1. Özellik 3 ile özellik 4 arasındaki farkın, her iki denklemin sol tarafında, konumlarının olmasıdır. X ve 1 yer değiştirmiştir.
VEYA Fonksiyonunun Özellikleri
Özellik 5:
Burada X 1 veya 0 olabilir. Bu, X 0 ise sonucun 0 olacağı anlamına gelir. X 1 ise sonuç 1 olur.
Özellik 6:
Burada X 1 veya 0 olabilir. Özellik 5 ile özellik 6 arasındaki farkın, her iki denklemin sol tarafında X ve 0'ın konumlarının yer değiştirmesi olduğunu unutmayın.
Özellik 7:
X 0 ise 0 + 1 = 1. X 1 ise 1 + 1 = 1.
Özellik 8:
Eğer X 0 ise 1 + 0 = 1. Eğer X 1 ise 1 + 1 = 1. Özellik 7 ile özellik 8 arasındaki farkın, her iki denklemin sol tarafında konumları olduğunu unutmayın. X ve 1 yer değiştirmiştir.
Bir Değişkenin Kendisi veya Tümleyeniyle Kombinasyonuna İlişkin Özellikler
Özellik 9: 
Yani: eğer X 0 ise o zaman 0'dır. 0 = 0. Eğer X 1 ise 1 olur. 1 = 1.
Özellik 10:
Yani: eğer X 0 ise o zaman 0. 1 = 0. Eğer X 1 ise o zaman 1. 0 = 0.
Ardışık değişkenler için bu özellik şöyle olur:
Özellik 11:
Yani: eğer X 0 ise, o zaman 0 + 0 = 0. Eğer X 1 ise, o zaman 1 + 1 = 1 (normal VEYA'dan).
Özellik 12:
Yani: eğer X 0 ise 0 + 1 = 1. Eğer X = 1 ise 1 + 0 = 1.
Yani: eğer X 0 ise 0 + 1 = 1. Eğer X = 1 ise 1 + 0 = 1.
Çift Tamamlama
Özellik 13:
Sol taraftaki X 0 olduğunda sağ taraftaki X 0 olur. Sağ taraftaki X 1 olduğunda sol taraftaki X 1 olur. Yani, çift tamamlayıcılar orijinal değeri geri verir.
Değişmeli kanun
Özellik 14:
Bu, eşittir işaretinin sol tarafındaki AND operatörü için birinci ve ikinci işlenenlerin yer değiştirmesinin önemli olmadığı anlamına gelir; Sol taraftaki değişim gerçekleştikten sonra cevap hala aynı. Bu denklem, noktalar çıkarılarak şu şekilde yazılabilir: XY = YX.
Özellik 15:
Buradaki açıklama önceki AND ile aynıdır ancak OR operatörü içindir.
Dağıtım kanunu
Özellik 16:
Burada üç değişken var: X, Y ve Z. Her değişken 1 ya da 0 olabilir. Eşit sembolün sol tarafında yer alan parantezler, önce içlerinde ne olduğunu değerlendirmek anlamına gelir. O halde AND, X ile sonuçtur. Sağ taraf, X VE Y'nin birlikte VEYA X VE Z'nin birlikte sol tarafla aynı olduğunu söylüyor. AND'ler için nokta operatörünün baştan sona atlandığını unutmayın; ve birleştirilen değişkenler hala VE anlamına gelir.
Özellik 17:
Bu özellik, W değişkeninin eklenmesiyle özellik 16'nın bir uzantısıdır.
Federal hukuk
Özellik 18:
Parantez, önce parantez içindekilerin değerlendirilmesi anlamına gelir. Dolayısıyla, sol taraftaki ifade için, eğer Y ve Z ilk önce ANDlanırsa ve X sonuçla ANDlanırsa, sol taraftaki nihai sonuç sağdaki nihai sonuçla aynıdır. -el tarafı burada X ve Y, sonucu Z ile VEleştirmeden önce ilk olarak AND'lenir. Denklemde noktaların çıkarıldığına dikkat edin.
Özellik 19:
Bu özellik, özellik 18'e benzer şekilde açıklanmaktadır ancak AND operatörü yerine OR operatörü kullanılır. Basitlik adına OR operatörü + hiçbir zaman Boolean ifadesinden çıkarılmaz. Öte yandan AND operatörü atlanabilir ve iki değişken birleştirilebilir.
Emilim
Özellik 20:
Bu denklemde, Y ne olursa olsun, sağ taraf her zaman X (emilmiş) olacaktır.
Özellik 21:
Ayrıca bu denklemde, Y ne olursa olsun, sağ taraf her zaman X (soğurulmuş) olacaktır. Bu özellik 21, özellik 20 ile aynıdır:
Burada, dağıtım yasasını ve 9 özelliğinin X.X = X olduğu gerçeğini kullanıyoruz.
Bir kimlik
Özellik 22:
Bu, X + Y ifadesi için X'in Y'nin önündeki tümleyeninin ifadeyi değiştirmediği anlamına gelir.
Özellik 23:
Bu, XY ifadesi için ilk önce yapılan X ORed'in parantez içindeki Y ile tümlemesinin XY ifadesini değiştirmediği anlamına gelir.
DeMorgan Yasası
Özellik 24:
Bu, bir NOR (NOT OR) kapısının, iki girişi VE yapmadan önce NOT etmesiyle aynı sonuca sahip olduğu anlamına gelir.
Özellik 25:
Bu, bir NAND (NOT AND) geçidinin, ORing öncesinde iki girişi NOT etme ile aynı sonuca sahip olduğu anlamına gelir.
Sağlanan resimler 25 özelliği göstermektedir. Sağ taraftaki ifadenin (veya sonucun) elde edilip edilmediğini görmek için, sol taraftaki her ifadede 1'ler ve 0'ların tüm farklı olası değerleri yerine konularak kanıtlanabilirler. Kanıtlar okuyucuya alıştırma olarak bırakılmıştır.
2.5 Bileşik İfadelerin Basitleştirilmesi
Aşağıdaki iki işlev aynıdır:
Z çıkıştır ve X, W ve Y girişlerdir. İlki bir NAND geçidine, bir OR geçidine, bir AND geçidine, iki NOT geçidine, bir OR geçidine ve bir NOR geçidine ihtiyaç duyar. İkincisi sadece iki AND kapısına ihtiyaç duyar. Birincisi, ikinci denklem için sağ taraftaki tek ifadeye basitleştirilmiş (indirgenmiş), sağ tarafta bileşik ifade bulunan bir denklemdir.
Basitleştirme veya azaltma, bir devreyle aynı işlevi gerçekleştirmek için daha az sayıda kapıya yol açar. Bu kadar küçük bir devre, Entegre Devrenin (IC) bir parçası olabilir veya bilgisayar anakartının yüzeyinde bağımsız bir devre olabilir.
Tasarım sürecine bir fonksiyon (denklem) geldiğinde, kapı sayısını azaltmak ve daha ucuz bir devre elde etmek için basitleştirme yapılması gerekir. Sadeleştirme, önceki yirmi beş Boole özelliğinden bir veya daha fazlasının kullanılmasını gerektirir.
Örnek 2.51:
Denklemi azaltın:
Not: Yan yana iki parantez, parantezlerin AND olduğu anlamına gelir (aralarındaki nokta isteğe bağlı olarak yazılmamıştır).
Çözüm:
Çözümlerde her adımın gerekçesi (gerekçesi) adımın sağında parantez içinde verilmiştir. Okuyucu her adımı ve gerekçesini okumalıdır. Okuyucu fonksiyon azaltma adımlarını okurken önceki özelliklere de başvurmalıdır.
Örnek 2.52:
Basitleştirin:
2.6 Minimum Ürün Toplamı
Aşağıdaki iki işlev aynıdır:
Her iki denklemin sağdaki ifadelerinin de Ürün Toplamı (SP) formunda olduğu söylenir. Hızlı bir ifadenin parantez içermiyorsa Çarpım Toplamı formunda olduğu söylenir. İlk fonksiyonun (denklemin) ikinci fonksiyona göre daha fazla kapıya ihtiyaç duyduğu açıktır.
İkinci fonksiyonu elde etmek için birinci sağ ifade yine de indirgenebilir. Sağdaki ikinci ifade daha fazla basitleştirilemez ve yine de Çarpımların Toplamı (terimlerin eklenmesi) olarak ifade edilebilir. Sağ taraftaki ikinci ifade gerçekten daha fazla basitleştirilemez. Yani Minimum Ürün Toplamı (MSP) formunda olduğu söyleniyor.
Örnek 2.61:
Aşağıdaki fonksiyonu önce Ürün Toplamı formuna, ardından Minimum Ürün Toplamı formuna getirin.
Çözüm:
Bunun gibi problemleri çözerken, bu çözümde gösterildiği gibi önceki yirmi beş özellikten bir veya daha fazlasının kullanılması gerekir:
2.6 Minimum Ürün Toplamı
Aşağıdaki iki işlev aynıdır:
Her iki denklemin sağdaki ifadelerinin de Ürün Toplamı (SP) formunda olduğu söylenir. Hızlı bir ifadenin parantez içermiyorsa Çarpım Toplamı formunda olduğu söylenir. İlk fonksiyonun (denklemin) ikinci fonksiyona göre daha fazla kapıya ihtiyaç duyduğu açıktır.
İkinci fonksiyonu elde etmek için birinci sağ ifade yine de indirgenebilir. Sağdaki ikinci ifade daha fazla basitleştirilemez ve yine de Çarpımların Toplamı (terimlerin eklenmesi) olarak ifade edilebilir. Sağ taraftaki ikinci ifade gerçekten daha fazla basitleştirilemez. Yani Minimum Ürün Toplamı (MSP) formunda olduğu söyleniyor.
Örnek 2.61:
Aşağıdaki fonksiyonu önce Ürün Toplamı formuna, ardından Minimum Ürün Toplamı formuna getirin.
Çözüm:
Bunun gibi problemleri çözerken, bu çözümde gösterildiği gibi önceki yirmi beş özellikten bir veya daha fazlasının kullanılması gerekir:
Bu son ifade Ürün Toplamı formunda (SP) bulunur, ancak Minimum Ürün Toplamı formunda (MSP) değildir. Sorunun ilk kısmı yanıtlandı. İkinci kısmın çözümü ise şu şekilde:
Bu son basitleştirilmiş fonksiyon (denklem) MSP formundadır ve uygulama için karşılık gelen SP formundan daha az sayıda kapıya ihtiyaç duyar. Unutmayın: SP, Ürünlerin Toplamı, MSP ise Minimum Ürün Toplamı anlamına gelir.
Örnek 2.62:
Aşağıdaki devrede X, Y ve W girişleri vardır ve çıkış Z'dir. Z için Ürün Toplamı (SP) fonksiyonunu (görünen minimum ürün toplamı fonksiyonu) üretin. Daha sonra, gerçek daha azaltılmış (minimumlaştırılmış) Ürün Toplamını (MSP) üretin. Daha sonra MSP devresini uygulayın (MSP geçit ağını çizin).
Şekil 2.61 Bir Geçiş Devresi
Çözüm:
Sadeleştirme işlemi başlamadan önce Z ifadesinin X, Y ve W cinsinden elde edilmesi gerekir. Diyagramdaki bu örnek resme bakın:
Bu, Z'nin X, Y ve W cinsinden ifadesidir. Bundan sonra görünür MSP'ye basitleştirme yapılabilir. Görünen MSP, SP'dir.
Bu son denklem (fonksiyon) SP formundadır. Minimum Ürün Toplamı doğru değildir (henüz MSP değil). Dolayısıyla azaltmanın (minimizasyon) devam etmesi gerekiyor.
Bu son denklem (fonksiyon) gerçek bir Minimum Ürün Toplamıdır (MSP). Ve Minimum Ürün Toplamı (doğru minimuma indirme) geçit devresi:
Şekil 2.62 MSP Geçitleme Devresi
Yorum
Bu bölümdeki analizden Ürün Toplamının Minimum Ürün Toplamı olup olmadığının net olmadığı görülmektedir. SP pek kullanışlı değil. Çok faydalı olan MSP'dir. MSP'yi edinmenin garantili bir yolu var; Karnaugh Haritasını kullanmaktır. Karnaugh Haritası bu çevrimiçi kariyer kursunun kapsamı dışındadır.
2.7 Sorunlar
Okuyucunun bir sonraki bölüme geçmeden önce bir bölümdeki tüm sorunları çözmesi tavsiye edilir.
- VE, VEYA ve DEĞİL doğruluk tablolarını karşılık gelen kapılarıyla birlikte üretin.
- On Boolean Postülatını farklı kategorilere ayırarak, kategorileri adlandırarak yazın.
- Açıklama yapmadan, Boole cebirinin yirmi altı özelliğini farklı kategoriler halinde, kategorileri adlandırarak yazın.
- Boole özelliklerini kullanarak ve kullanılan kategorilerden alıntı yaparak denklemi azaltın.
- Boole özelliklerini kullanarak ve kullanılan kategorilerden alıntı yaparak denklemi azaltın.
- Boolean özelliklerini kullanarak ve kullanılan kategorileri alıntılayarak aşağıdaki denklemi önce Ürün Toplamına, ardından Minimum Ürün Toplamına azaltın:
- Boolean özelliklerini kullanarak ve kullanılan kategorileri alıntılayarak aşağıdaki denklemi önce Ürün Toplamına, ardından Minimum Ürün Toplamına azaltın:
